PCA——主成分分析
简介
PCA全称Principal Component Analysis，即主成分分析，是一种常用的数据降维方法。它可以通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示，以此来提取数据的主要线性分量。
z=wTx 其中，z为低维矩阵，x为高维矩阵，w为两者之间的映射关系。假如我们有二维数据（原始数据有两个特征轴——特征1和特征2）如下图所示，样本点分布为斜45°的蓝色椭圆区域。
PCA算法认为斜45°为主要线性分量，与之正交的虚线是次要线性分量（应当舍去以达到降维的目的）。
划重点：
- 线性变换=>新特征轴可由原始特征轴线性变换表征
- 线性无关=>构建的特征轴是正交的
- 主要线性分量（或者说是主成分）=>方差加大的方向
- PCA算法的求解就是找到主要线性分量及其表征方式的过程
相应的，PCA解释方差并对离群点很敏感：少量原远离中心的点对方差有很大的影响，从而也对特征向量有很大的影响。
线性变换
一个矩阵与一个列向量A相乘，等到一个新的列向量B，则称该矩阵为列向量A到列向量B的线性变换。
我们希望投影后投影值尽可能分散，而这种分散程度，可以用数学上的方差来表述。
即寻找一个一维基，使得所有数据变换为这个基上的坐标表示后，方差值最大。
解释：方差越大，说明数据越分散。通常认为，数据的某个特征维度上数据越分散，该特征越重要。
对于更高维度，还有一个问题需要解决，考虑三维降到二维问题。与之前相同，首先我们希望找到一个方向使得投影后方差最大，这样就完成了第一个方向的选择，继而我们选择第二个投影方向。如果我们还是单纯只选择方差最大的方向，很明显，这个方向与第一个方向应该是“几乎重合在一起”，显然这样的维度是没有用的，因此，应该有其他约束条件——就是正交
解释：从直观上说，让两个字段尽可能表示更多的原始信息，我们是不希望它们之间存在（线性）相关性的，因为相关性意味着两个字段不是完全独立，必然存在重复表示的信息。
字段在本文中指，降维后的样本的特征轴
数学上可以用两个字段的协方差表示其相关性：
注意：应该除以m-1
当协方差为0时，表示两个字段线性不相关。
总结一下，PCA的优化目标是：
将一组N维向量降为K维（K大于0，小于N），其目标是选择K个单位正交基，使得原始数据变换到这组基上后，各字段两两间协方差为0，而字段的方差则尽可能大。
所以现在的重点是方差和协方差
协方差
在统计学上，协方差用来刻画两个随机变量之间的相关性，反映的是变量之间的二阶统计特性。考虑两个随机变量Xi 和 Xj ，它们的协方差定义为：
协方差矩阵：
假设有m个变量，特征维度为2，a1表示变量1的a特征。那么构成的数据集矩阵为：
再假设它们的均值都是0，对于有两个均值为0的m维向量组成的向量组，
可以发现对角线上的元素是两个字段的方差，其他元素是两个字段的协方差，两者都被统一到了一个矩阵——协方差矩阵中。
回顾一下前面所说的PCA算法的目标：方差max，协方差min！！
要达到PCA降维目的，等价于将协方差矩阵对角化：即除对角线外的其他元素化为0，并且在对角线上将元素按大小从上到下排列，这样我们就达到了优化目的。
设原始数据矩阵X对应的协方差矩阵为C，而P是一组基按行组成的矩阵，设Y=PX，则Y为X对P做基变换后的数据。设Y的协方差矩阵为D，我们推导一下D与C的关系：
解释：想让原始数据集X =>pca成数据集Y，使得Y的协方差矩阵是个对角矩阵。
有上述推导可得，若有矩阵P能使X的协方差矩阵对角化，则P就是我们要找的PCA变换。
优化目标变成了寻找一个矩阵P，满足
是一个对角矩阵，并且对角元素按从大到小依次排列，那么P的前K行就是要寻找的基，用P的前K行组成的矩阵乘以X就使得X从N维降到了K维，并满足上述优化条件。
矩阵对角化
首先，原始数据矩阵X的协方差矩阵C是一个实对称矩阵，它有特殊的数学性质：
- 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必然正交。
- 设特征值λ重数为r，则必然存在r个线性无关的特征向量对应于λ，因此可以将这r个特征向量单位正交化。
P是协方差矩阵的特征向量单位化后按行排列出的矩阵，其中每一行都是C的一个特征向量。如果设P按照中特征值的从大到小，将特征向量从上到下排列，则用P的前K行组成的矩阵乘以原始数据矩阵X，就得到了我们需要的降维后的数据矩阵Y。
算法及实例
PCA算法
小例子：
降维过程的示意图
import numpy as npimport pandas as pddf = pd.read_csv('D:\\mlInAction\\iris.data')df.head() df.columns = ['sepal_len', 'sepal_wid', 'petal_len', 'petal_wid', 'class']df.head() # split data table into data X and class labels yX = df.iloc[:, 0:4].valuesy = df.iloc[:, 4].values from sklearn.preprocessing import StandardScalerX_std = StandardScaler().fit_transform(X)print(X_std) mean_vec = np.mean(X_std, axis=0)cov_mat = (X_std - mean_vec).T.dot((X_std - mean_vec)) / (X_std.shape[0] - 1) # 协方差和方差都是除以n-1print('Covariance matrix \n%s' % cov_mat) print('NumPy covariance matrix: \n%s' % np.cov(X_std.T))# 重点：协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间。# 拿到一个样本矩阵，首先要明确的就是行代表什么，列代表什么。 cov_mat = np.cov(X_std.T)eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(cov_mat) # 利用numpy求特征值和特征向量print('Eigenvectors \n%s' % eig_vecs)print('\nEigenvalues \n%s' % eig_vals) # Make a list of (eigenvalue, eigenvector) tupleseig_pairs = [(np.abs(eig_vals[i]), eig_vecs[:, i]) for i in range(len(eig_vals))]print(eig_pairs)print('----------')# Sort the (eigenvalue, eigenvector) tuples from high to loweig_pairs.sort(key=lambda x: x[0], reverse=True)# Visually confirm that the list is correctly sorted by decreasing eigenvaluesprint('Eigenvalues in descending order:')for i in eig_pairs: print(i[0]) tot = sum(eig_vals)var_exp = [(i / tot) * 100 for i in sorted(eig_vals, reverse=True)]print(var_exp)cum_var_exp = np.cumsum(var_exp)cum_var_exp a = np.array([1, 2, 3, 4])print(a)print('-----------')print(np.cumsum(a)) matrix_w = np.hstack((eig_pairs[0][1].reshape(4, 1), eig_pairs[1][1].reshape(4, 1)))print('Matrix W:\n', matrix_w) Y = X_std.dot(matrix_w)Y from matplotlib import pyplot as pltplt.figure(figsize=(6, 4))for lab, col in zip(('Iris-setosa', 'Iris-versicolor', 'Iris-virginica'), ('blue', 'red', 'green')): plt.scatter(X[y == lab, 0], X[y == lab, 1], label=lab, c=col)plt.xlabel('sepal_len')plt.ylabel('sepal_wid')plt.legend(loc='best')plt.tight_layout()plt.show() 
plt.figure(figsize=(6, 4))for lab, col in zip(('Iris-setosa', 'Iris-versicolor', 'Iris-virginica'), ('blue', 'red', 'green')): plt.scatter(Y[y == lab, 0], Y[y == lab, 1], label=lab, c=col)plt.xlabel('Principal Component 1')plt.ylabel('Principal Component 2')plt.legend(loc='lower center')plt.tight_layout()plt.show() 
进一步讨论 根据上面对PCA的数学原理的解释，我们可以了解到一些PCA的能力和限制。PCA本质上是将方差最大的方向作为主要特征，并且在各个正交方向上将数据“离相关”，也就是让它们在不同正交方向上没有相关性。
因此，PCA也存在一些限制，例如它可以很好的解除线性相关，但是对于高阶相关性就没有办法了，对于存在高阶相关性的数据，可以考虑Kernel PCA，通过Kernel函数将非线性相关转为线性相关，关于这点就不展开讨论了。另外，PCA假设数据各主特征是分布在正交方向上，如果在非正交方向上存在几个方差较大的方向，PCA的效果就大打折扣了。
最后需要说明的是，PCA是一种无参数技术，也就是说面对同样的数据，如果不考虑清洗，谁来做结果都一样，没有主观参数的介入，所以PCA便于通用实现，但是本身无法个性化的优化。